作业帮已知椭圆x^2/16+y^2/9=1的左,右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点.则点P到x轴的距离为____________
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 16:43:23
已知椭圆x^2/16+y^2/9=1的左,右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点.则点P到x轴的距离为____________
已知椭圆x^2/16+y^2/9=1的左,右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点.
则点P到x轴的距离为____________
已知椭圆x^2/16+y^2/9=1的左,右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点.则点P到x轴的距离为____________
椭圆中,a=4,b=3,c²=16-9=7,设P(x,y),则点P到x轴的距离为|y|.
分两种情况.
(1)若P是直角顶点,则 PF1⊥PF2,|PF1|²+|PF2|²=4c²
4a²=(|PF1|+|PF2|)²=|PF1|²+|PF2|²+2|PF1|•|PF2|=4c²+2|PF1|•|PF2|
即 64=28+2|PF1|•|PF2|
|PF1|•|PF2|=18
设⊿PF1F2的面积为S,则2S=|PF1|•|PF2|=|F1F2|•|y|
所以|y|=9√7/7
由于|y|²=81/7>9,|y|>3,不合题意,舍去.
(2)若一焦点（如F2)是直角顶点,则 PF2⊥F1F2,|PF1|²-|PF2|²=4c²
(|PF1|+|PF2|)(|PF1|-|PF2|)=4c²
8(|PF1|-|PF2|)=28,|PF1|-|PF2|=7/2
又|PF1|+|PF2|=8
所以|PF2|=9/4,即|y|=9/4
点P到x轴的距离为9/4
a=4,b=3,c=√7，第一种情况，两焦点连线段F1F2为直角边，则P点横坐标为±√7，代入方程得，纵坐标为±9/4，则P到x 轴距离为9/4
第二种情况，两焦点连线F1F2为斜边，由焦点弦公式：P到两个焦点的线段，即直角三角形的两个直角边长度为(4+√7/4·x)，(4-√7/4·x)，与2√7构成勾股数，计算得知无解。
或者连接短轴一顶点和两焦点构成三角形，发现是锐角三角形，...
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a=4,b=3,c=√7，第一种情况，两焦点连线段F1F2为直角边，则P点横坐标为±√7，代入方程得，纵坐标为±9/4，则P到x 轴距离为9/4
第二种情况，两焦点连线F1F2为斜边，由焦点弦公式：P到两个焦点的线段，即直角三角形的两个直角边长度为(4+√7/4·x)，(4-√7/4·x)，与2√7构成勾股数，计算得知无解。
或者连接短轴一顶点和两焦点构成三角形，发现是锐角三角形，说明P点在其他位置时也不可能构成以两焦点间线段为斜边的直角三角形。
即P只有4个位置（√7，9/4）（√7，-9/4）（-√7，9/4）（-√7，-9/4）
x 轴距离均为9/4
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