作业帮如图,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且CE=CF,CP⊥DE,垂足为P.求证:△CPF∽△DPA
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 08:30:20
如图,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且CE=CF,CP⊥DE,垂足为P.求证:△CPF∽△DPA
如图,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且CE=CF,CP⊥DE,垂足为P.求证:△CPF∽△DPA
如图,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且CE=CF,CP⊥DE,垂足为P.求证:△CPF∽△DPA
证明：
∵ABCD是正方形
∴AD=CD,∠ADC=∠BCD=90º
∵CP⊥DE
∴∠DPC=∠CPE=90º
∵∠DEC+∠CDE=90º
∠DEC+∠ECP=90º
∴∠CDE=∠ECP
∴⊿DPC∽⊿CPE（AA‘）
∴DP/CD=CP/CE
∵CD =AD,CE=CF
∴DP/AD=CP/CF【等量代换】
∵∠ADP=90º-∠CDE
∠FCP=90º-∠ECP
∴∠ADP=∠FCP
∴⊿CPF∽⊿DPA（SAS）【边成比例夹角相等】
设正方形边长为a ，CE=CF=b
在直角三角形CDE中， CP垂直于DE
那么 CP/CE=CD/DE
即 CP/b=a/ √(a²+b²) CP=ab/√(a²+b²)
DP/CD=CD/DE
即 DP=CD²/DE=a²/√(a²+b²)...
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设正方形边长为a ，CE=CF=b
在直角三角形CDE中， CP垂直于DE
那么 CP/CE=CD/DE
即 CP/b=a/ √(a²+b²) CP=ab/√(a²+b²)
DP/CD=CD/DE
即 DP=CD²/DE=a²/√(a²+b²)
由于
同时，CF/AD=b/a
CP/DP= [ab/√(a²+b²)]/[a²/√(a²+b²)]=ab/a²=b/a
因此 CF/AD=CP/DP
则三角形CPF和三角形DPA有两条对应边成比例，其夹角相等，所以，
△CPF∽△DPA
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