如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y＝ax2＋bx过A、C两点.(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动．速度均为每

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/11 15:48:02

如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y＝ax2＋bx过A、C两点.(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动．速度均为每
如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y＝ax2＋bx过A、C两点.
(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD
向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E
①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请说明理由.
那位高人会用“三线合一”的方法做第②小题,

如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y＝ax2＋bx过A、C两点.(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动．速度均为每
显然A(4, 8)
过A: 8 = 16a + 4b, 4a + b = 2 (1)
过C: 0 = 64a + 8b, 8a + b = 0 (2)
由(1)(2): a = -1/2, b = 4
y = -x²/2 + 4x
AC的方程: (y - 0)/(x - 8) = (8 - 0)/(4 - 8)
y = 16 - 2x
t秒时, AP = t, P(4, 8-t), Q(8, t)
E的纵坐标=8 - t
代入AC的方程: 8-t = 16 - 2x, x = 4 + t/2
E(4 + t/2, 8 - t)
将E的横坐标代入抛物线的方程; G的纵坐标= -(4 + t/2)²/2 + 4(4 + t/2) = 8 - t²/8
G(4 + t/2, 8 - t²/8)
EG = G的纵坐标 - E的纵坐标 = 8 - t²/8 - (8 - t) = t - t²/8 = -(t - 4)²/8 + 2
t = 4时, 线段EG最长
使得△CEQ是等腰三角形:
(i)CE = EQ
CE² = EQ²
(t/2 - 4)² + (8 - t)² = (t/2 - 4)² + (8 - 2t)²
(8 - t)² = (8 - 2t)²
8 - t = 8 - 2t, t = 0 (C,Q重叠,舍去)
或8 - t = 2t - 8, t = 16/3
(ii) CQ = QE
CQ² = QE²
t² = (8 - 2t)² + (t/2 - 4)²
13t² -144t + 320 = 0
t = 8 (C,E重叠,舍去)
或t = 40/13
(iii) CE = CQ
CE² = CQ²
(t/2 - 4)² + (8 - t)² = t²
t² - 80t + 320 = 0
t = 40+16√5 (>8, 大概应当舍去)
t = 40-16√5