作业帮已知,如图,在△ABC中,D为BC上的一点,延长AD到点E,连接BE、CE,∠ABD+1/2∠DBE=90°,∠1=∠2=∠3.求证：①AE=AC②BE=CE=CD
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 04:18:28
已知,如图,在△ABC中,D为BC上的一点,延长AD到点E,连接BE、CE,∠ABD+1/2∠DBE=90°,∠1=∠2=∠3.求证：①AE=AC②BE=CE=CD
已知,如图,在△ABC中,D为BC上的一点,延长AD到点E,连接BE、CE,∠ABD+1/2∠DBE=90°,∠1=∠2=∠3.
求证：①AE=AC②BE=CE=CD
已知,如图,在△ABC中,D为BC上的一点,延长AD到点E,连接BE、CE,∠ABD+1/2∠DBE=90°,∠1=∠2=∠3.求证：①AE=AC②BE=CE=CD
1、作△ABC的外接圆,作直径AF,交圆于F,连结CF,EF,BF,
∠1=∠2=∠3,故A、B、C、E四点同在以CE为弦,顶角为〈2的圆周角（〈A/2）的圆上,也即外接圆,〈ABF=90度,（半圆上的圆周角为直角）,而∠ABD+1/2∠DBE=90°,
∠DBE/2=90度-〈ABD,BF是〈3的平分线,EF=CF（等弧对等弦）,〈AEF=〈ACF=90度（半圆上的圆周角是直角）,RT△AEF≌RT△ACF,
∴AE=AC.
2、由前所述,E点在外接圆上,AE是〈BAC的平分线,即E是BEC弧的中点,BE弧=CE弧,
∴BE=CE,
在三角形CDE中,〈DEC=〈ABC（同弧圆周角）,
〈ABC=90度-〈DBE/2=90度-〈BAC/4
〈DEC=90度-〈BAC/4,
〈CDE=〈ACB+〈DAC=〈ACB+〈BAC/2
〈ACF=90度,
〈ACB=90度-〈BCF=90度-3〈BAC/4,
〈CDE=90度-3/4〈BAC+〈BAC/2=90度-〈BAC/3
△CDE是等腰△,CD=CE
∴BE=CE=CD.
证毕.
证明：①过A作AF⊥BC于F。因此∠ABD+∠BAF=90°。由已知，∠ABD+1/2∠3=90°，且∠1=∠3，因此∠BAF=1/2∠1，也即AF是∠1的角平分线。又AF还是BD的高线，因此很容易证明△ABF和△ADF全等（角边角全等），所以AB=AD。由于∠ABE=∠ABD+∠3，∠ADC=∠ABD+∠1，因此∠ABE=∠ADC。又由于∠1=∠2，根据角边角全等，△ABE与△ADC全等，所以A...
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证明：①过A作AF⊥BC于F。因此∠ABD+∠BAF=90°。由已知，∠ABD+1/2∠3=90°，且∠1=∠3，因此∠BAF=1/2∠1，也即AF是∠1的角平分线。又AF还是BD的高线，因此很容易证明△ABF和△ADF全等（角边角全等），所以AB=AD。由于∠ABE=∠ABD+∠3，∠ADC=∠ABD+∠1，因此∠ABE=∠ADC。又由于∠1=∠2，根据角边角全等，△ABE与△ADC全等，所以AE=AC。
②根据①，△ABE与△ADC全等，得到BE=CD。过A作AG⊥CE于G，所以AG是等腰三角形ACE的中线、角平分线和高线。所以∠CED+∠EAG=∠CED+1/2∠2=90°。由于AB=AD，因此∠ABD=∠ADB=∠CDE。由于已知∠ABD+1/2∠DBE=90°，因此∠CDE+1/2∠1=90°。又∠1=∠2，因此∠CDE=∠CED，CD=CE。
综上：BE=CE=CD。
收起
已知,如图,在△ABC中,D为BC上的一点,延长AD到点E,连接BE、CE，∠ABD+1/2∠DBE=90°，∠1=∠2=∠3。