高数数列极限定义中,为什么小n一定要大于大n呢,大于又有什么作用呢?

高数数列极限定义中,为什么小n一定要大于大n呢,大于又有什么作用呢?
高数数列极限定义中,为什么小n一定要大于大n呢,大于又有什么作用呢?

高数数列极限定义中,为什么小n一定要大于大n呢,大于又有什么作用呢?
例如,要证明数列an=1-1/n的极限是1,就是要证明对任意小（你想怎么小就能做到怎么小）的正数ε,总存在正数N,当n＞N时,有|an-1|＜ε,如取ε=0.1,要使|an-1|=|(1-1/n)-1|=|1/n|=1/n＜0.1,解得n＞10.所以只要取N=10,当n＞10时,就能保证|an-1|＜0.1.如果取n不大于N（即n≯10）,比如让n=5,则|an-1|=|1-1/5-1|=1/5=0.2,显然0.2是不小于ε=0.1的,所以n一定要大于N,即第11项以后的各项与1的差的绝对值都小于ε=0.1.若再取一个你认为小的正数ε=0.001,可解得N=1000,当n＞1000,就能保证绝对值不等式|an-1|＜0.001成立,即数列的极限是1.
综上所述：N是相对于你所取定的任意小的正数ε,且使绝对值不等式|an-1|＜ε成立,我们费心寻找到的（解不等式求得的）那个正数,它是一个界（或曰标杆）.有了这个界N,只要n大于N,就能保证绝对值不等式|an-1|＜ε,也才能成功证明数列an的极限是1.反之n若小于N一丁点,就不能保证所给数列的极限是1.