作业帮lim(1-3/x)^x+1 =e^3 （公式） x->无穷大 此题括号内1-无穷小,的无穷大次方应该不会大于1,怎么会等于e^3
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 03:10:39
lim(1-3/x)^x+1 =e^3 （公式） x->无穷大 此题括号内1-无穷小,的无穷大次方应该不会大于1,怎么会等于e^3
lim(1-3/x)^x+1 =e^3 （公式） x->无穷大 此题括号内1-无穷小,的无穷大次方应该不会大于1,怎么会等于e^3
lim(1-3/x)^x+1 =e^3 （公式） x->无穷大 此题括号内1-无穷小,的无穷大次方应该不会大于1,怎么会等于e^3
1. 当x->无穷大的时候,底数趋向1,指数趋向于正无穷,而且收敛速度不同,所以不能分开求极限
2. 所以原式应该化简后求极限：
lim(1-3/x)^(x+1)=lim(1-3/x)^(-x/3*3*(-1)+1)=lim[(1-3/x)*(1-3/x)^(-x/3*3*(-1)]=1*e^(-3*-1)=e^3
倒数第二步成立的原因是,两个收敛函数的积仍为收敛函数
其中还用到了lim(1+a/x)^(x/a)=e^a,当x->无穷大,a不等于0
令t=－x/3，当x→∞时，t→∞。而x=－3t，(1-3/x)^(x+1)= (1＋1/t)^( －3t +1)= (1＋1/t)^( －3t) •(1＋1/t)= [ (1＋1/t)^ t ]^ (－3) •(1＋1/t)，因此，在自变量→∞时，lim (1-3/x)^(x+1)= lim｛[ (1＋1/t)^ t ]^ (－3) •(1＋/1t)｝=e^ ...
全部展开
令t=－x/3，当x→∞时，t→∞。而x=－3t，(1-3/x)^(x+1)= (1＋1/t)^( －3t +1)= (1＋1/t)^( －3t) •(1＋1/t)= [ (1＋1/t)^ t ]^ (－3) •(1＋1/t)，因此，在自变量→∞时，lim (1-3/x)^(x+1)= lim｛[ (1＋1/t)^ t ]^ (－3) •(1＋/1t)｝=e^ (－3)•1=e^ (－3)
“括号内（1-3/x）应该是小于等于1的数”是不正确的。“x→∞”说明x→＋∞或x→－∞；此外有限和无限有本质的区别。可以这样考察：先考虑x→＋∞的正整数情况（此时1-3/x＞1），再考察x→＋∞的正整数情况，再考察x→－∞时的情况，由此得出x→＋∞或x→－∞时lim(1-3/x)^(x+1)= e^ (－3)，由自变量→∞时函数极限的定义可知，若x→＋∞或x→－∞时lim(1-3/x)^(x+1)= e^ (－3)，那么x→∞时lim(1-3/x)^(x+1)= e^ (－3)。
关键的是，我们要做的是找寻x→∞时函数的结果，在x未→∞时只是想了解x→∞的过程中函数的变化趋势。
收起