（1）三角形ABC中,AB=AC,P是BC上的一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于F,CG⊥AB于G,求证PE+PF=CG（2）已知：在四边形ABCD中,AB=CD,∠A+∠D=180°,AC、BD相交与点O,三角形AOB是等边三角形,求证：四边形ABCD是矩形

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 20:14:24

（1）三角形ABC中,AB=AC,P是BC上的一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于F,CG⊥AB于G,求证PE+PF=CG（2）已知：在四边形ABCD中,AB=CD,∠A+∠D=180°,AC、BD相交与点O,三角形AOB是等边三角形,求证：四边形ABCD是矩形
（1）三角形ABC中,AB=AC,P是BC上的一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于F,CG⊥AB于G,求证PE+PF=CG
（2）已知：在四边形ABCD中,AB=CD,∠A+∠D=180°,AC、BD相交与点O,三角形AOB是等边三角形,求证：四边形ABCD是矩形

（1）三角形ABC中,AB=AC,P是BC上的一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于F,CG⊥AB于G,求证PE+PF=CG（2）已知：在四边形ABCD中,AB=CD,∠A+∠D=180°,AC、BD相交与点O,三角形AOB是等边三角形,求证：四边形ABCD是矩形
延长EP至D,作CD⊥ED
      因为PF⊥AC ,CG⊥AB,又CD⊥ED
     ∴四边形CDEG是矩形
   ∴CG=ED
另外,∠1+∠B=90°,∠2+∠C=90°
      ∠B=∠C
     ∴    ∠1=∠2
    又     ∠1=∠3（对顶角）
   ∴   ∠2=∠3,又PC公共
   ∴  Rt△PCD全等Rt△PCE
     ∴  PE=PD
     ∴  PE+PF=PE+PD=CG
∵AB=CD,∠A+∠D=180°
    ∴AB//CD（内角互补）
    ∴四边形ABCD为平行四边形
   又∵AB//CD
      ∵ △AOB是等边三角形,
    ∴△COD对应三角=60°
    ∴△COD也是等边三角形
    ∴ OD=OC=CD=AO=BO=AB（对角线互相平分）
  ∴△OAD为顶角为120°、底角（∠1=∠3）为30°的等腰三角形
  ∴∠A= ∠AOB+ ∠1=60°+30°=90°（有一角为直角）
  ∴ 四边形ABCD是矩形（对角线互相平分、有一角为直角）

(2)
因为：AB=CD，∠A+∠D=180°
所以：四边形ABCD为平行四边形
又因为：AC、BD相交与点O，三角形AOB是等边三角形
所以：AO=BO=DO=CO
所以：AO+CO=BO+DO
即：AC=BD
所以：四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形......）

全部展开

(1)过点P作PM∥AB交CG于N，交AC于M。
PE⊥AB，CG⊥AB,PM∥AB得：PE=GN。
AB=AC，PM∥AB得：∠C=∠B=∠CPM
∠PNC=∠PFC=90°，所以△PNC≌△CFP
所以PF=CN，即PE+PF=GN+NC=GC
(2)∠A+∠D=180°得：AB∥CD,且AB=CD,
所以四边形ABCD是平行四边形。
由于△AOB是等边三角形，AO=DO，∠ADB=∠AOD=60°又AO=CO，
∠BDC=30°，所以∠D=∠ADB+∠BDC=60°+30°=90°
所以四边形ABCD是矩形

收起

证明：1
SΔABC=AB*PE/2+AC*PF/2=AB*(PE+PF)/2=AB*CG/2
所以 PE+PF=CG
2
(2)
∵AB=CD，∠A+∠D=180°
∴：四边形ABCD为平行四边形
又∵AC、BD相交与点O，三角形AOB是等边三角形
∴AO=BO=DO=CO
∴AO+CO=BO+DO
即AC=BD
∴：四边形ABCD是矩形