作业帮二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1,设h(x)=f(x)+(2a+1x+1,x属于【-5,5】,求h(x)的最小值是“……设h(x)=f(x)+(2a+1)x+1……”
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 10:56:51
二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1,设h(x)=f(x)+(2a+1x+1,x属于【-5,5】,求h(x)的最小值是“……设h(x)=f(x)+(2a+1)x+1……”
二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1,设h(x)=f(x)+(2a+1x+1,x属于【-5,5】,求h(x)的最小值
是“……设h(x)=f(x)+(2a+1)x+1……”
二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1,设h(x)=f(x)+(2a+1x+1,x属于【-5,5】,求h(x)的最小值是“……设h(x)=f(x)+(2a+1)x+1……”
●分析
先用赋值法,通过函数方程f(x+1)-f(x)=2x得f(x)经过的三个点,然后用待定系数法,求二次函数f(x)解析式.
h(x)显然是二次函数,且一次项系数含有参数a,表明抛物线对称轴也含有参数a.当参数a变化时,对称轴产生位移（把抛物线的位移看成对称轴的位移——线性化观点.关键）.是动轴定区间问题.因此,要分对称轴在定区间[-5,5]左边、之内、右边三种情况分类讨论.其间蕴含了数形结合、动静结合,运动变化等思想方法.
对f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1,
赋值x=0,1,-1:
f(1)-f(0)=0,得f(1)=1；
f(0)-f(-1)=-2,得f(-1)=3.
设y=dx²+bx+1(d≠0),
d+b=0,and d-b=2,
d=1,b=-1,
f(x)= x²-x+1.
h(x)= x²+2ax+2=(x+a)²+2-a².
抛物线开口向上,对称轴x=-a,
当-a≤-5,即a≥5时,h(x)在[-5,5]上单增,h min(x)=h(-5)=27-10a；
当-5
令f﹙x﹚=ax²＋bx＋c
∴a﹙x＋1﹚²＋b﹙x＋1﹚＋c－﹙ax²＋bx＋c﹚=2x
即2ax＋a＋b=2x
由对应系数相等
2a=2 a＋b=0
解得a=1 b=-1
∴f﹙x﹚=x²－x＋c
又∵f﹙0﹚=1
得c=1
∴f﹙x﹚=x²－x＋1
∴h﹙x...
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令f﹙x﹚=ax²＋bx＋c
∴a﹙x＋1﹚²＋b﹙x＋1﹚＋c－﹙ax²＋bx＋c﹚=2x
即2ax＋a＋b=2x
由对应系数相等
2a=2 a＋b=0
解得a=1 b=-1
∴f﹙x﹚=x²－x＋c
又∵f﹙0﹚=1
得c=1
∴f﹙x﹚=x²－x＋1
∴h﹙x﹚=x²－x＋1＋3x＋1
=x²＋2x＋2
易得h﹙x﹚在[-5，5]内先减后增 在对称轴处取得最小值
∴h﹙x﹚min=h﹙-1﹚=1
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