已知a、b、c∈R*求证：a³+b³+c³≥（1/3）*（a²+b²+c²）*（a+b+c）柯西不等式OR基本不等式,

已知a、b、c∈R*求证：a³+b³+c³≥（1/3）*（a²+b²+c²）*（a+b+c）柯西不等式OR基本不等式,
已知a、b、c∈R*
求证：
a³+b³+c³≥（1/3）*（a²+b²+c²）*（a+b+c）
柯西不等式OR基本不等式,

已知a、b、c∈R*求证：a³+b³+c³≥（1/3）*（a²+b²+c²）*（a+b+c）柯西不等式OR基本不等式,
1、本题一般可用均值不等式证明;
以下用柯西不等式证:
∵a、b、c∈R+,
∴(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)
≥(a^2+b^2+c^2)^2
=(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)
≥[(a+b+c)^2/(1+1+1)]*(a^2+b^2+c^2)
上式两边除以a+b+c,得
a^3+b^3+c^3≥1/3*(a+b+c)(a^2+b^2+c^2).
2、用X代替左边,Y代替右边,则此题为证明X≥Y.
先计算3X-3Y.
3X-3Y=3(a^3+b^3+c^3)-(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)
=2(a^3+b^3+c^3)-(a^2*b+a^2*c+b^2*a+b^2*c+c^2*a+c^2*b)
将右边含有a^2,b^2,c^2的项提取出来,整理得
3X-3Y=(a-b)a^2+(a-c)a^2+(b-a)b^2+(b-c)b^2+(c-a)c^2+(c-b)c^2
=(a-b)(a^2-b^2)+(a-c)(a^2-b^2)+(b-c)(b^2-c^2)
=(a-b)(a-b)(a+b)+(a-c)(a-c)(a+c)+(b-c)(b-c)(b+c)
=(a+b)(a-b)^2+(a+c)(a-c)^2+(b+c)(b-c)^2
因为a, b, c为正数,所以(a+b), (b+c), (a+c)也为正数
3X-3Y≥0,当且仅当a=b=c时,等号成立
所以X≥Y,也就是a^3+b^3+c^3≥1/3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)