作业帮1.在△ABC中,A,B,C为三个内角,a,b,c,为三条边,pai/3＜C＞pai/2,且b/（a-b）=sin2C/（sinA-sin2C)1）判断△ABC的形状（2）若｜向量BA+向量BC｜=2,求向量BA 乘 向量BC的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 06:05:55
1.在△ABC中,A,B,C为三个内角,a,b,c,为三条边,pai/3＜C＞pai/2,且b/（a-b）=sin2C/（sinA-sin2C)1）判断△ABC的形状（2）若｜向量BA+向量BC｜=2,求向量BA 乘 向量BC的取值范围
1.在△ABC中,A,B,C为三个内角,a,b,c,为三条边,pai/3＜C＞pai/2,且b/（a-b）=sin2C/（sinA-sin2C)
1）判断△ABC的形状
（2）若｜向量BA+向量BC｜=2,求向量BA 乘 向量BC的取值范围
1.在△ABC中,A,B,C为三个内角,a,b,c,为三条边,pai/3＜C＞pai/2,且b/（a-b）=sin2C/（sinA-sin2C)1）判断△ABC的形状（2）若｜向量BA+向量BC｜=2,求向量BA 乘 向量BC的取值范围
第一个问题：
∵b/（a－b）＝sin2C/（sinA－sin2C）,∴b/a＝sin2C/sinA,∴asin2C＝bsinA,
∴结合正弦定理,有：sinAsin2C＝sinBsinA.
显然,在△ABC中,有：sinA＞0,∴simB＝sin2C,∴B＝2C,或B＝180°－2C.
一、当B＝2C时,
考虑到π/3＜C＜π/2,即：60°＜C＜90°,∴180°＜3C＜270°,∴－270°＜－3C＜－180°,
∴－90°＜180°－3C＜0°.
而A＝180°－B－C＝180°－3C,∴－90°＜A＜0°.这自然是不合理的,∴这种情况应舍去.
二、当B＝180°－2C时,
A＝180°－B－C＝180°－（180°－2C）－C＝C.
∴△ABC是以AC为底边的等腰三角形.
综上所述,得：△ABC是以AC为底边的等腰三角形.
第二个问题：
取AC的中点为D.
∵△ABC是以AC为底边的等腰三角形,∴AB＝BC.
由AB＝BC、AD＝CD,得：∠ABD＝∠ABC/2＝（180°－2C）/2＝90°－C,且BD⊥AC.
∴cos∠ABD＝sinC＝BD/BC.
延长BD至E,使DE＝AD.
由AD＝CD、DE＝AD,得：ABCE是平行四边形,∴向量BE＝向量BA＋向量BC,
∴BE＝｜向量BA＋向量BC｜＝2,∴BD＝1,∴sinC＝1/BC.
∵60°＜C＜90°,∴√3/2＜sinC＜1,∴√3/2＜1/BC＜1,∴1＜BC＜2/√3,∴1＜BC^2＜4/3,
∴－4/3＜－BC^2＜－1,∴2/3＜2－BC^2＜1.
由｜向量BA＋向量BC｜＝2,得：
AB^2＋BC^2＋2向量BA·向量BC＝4,∴2BC^2＋2向量BA·向量BC＝4,
∴向量BA·向量BC＝2－BC^2,∴2/3＜向量BA·向量BC＜1.
∴向量BA·向量BC的取值范围是（2/3,1）.