在底面是平行四边形的四棱锥P--ABCD中,AB⊥AC,PA⊥面ABCD,且PA＝AB,点E是PD的中点.求证：（1)AC⊥PB（2）PB‖面AEC（3）求二面角E-AC-B

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 02:10:29

在底面是平行四边形的四棱锥P--ABCD中,AB⊥AC,PA⊥面ABCD,且PA＝AB,点E是PD的中点.求证：（1)AC⊥PB（2）PB‖面AEC（3）求二面角E-AC-B
在底面是平行四边形的四棱锥P--ABCD中,
AB⊥AC,PA⊥面ABCD,且PA＝AB,点E是PD的中点.
求证：（1)AC⊥PB
（2）PB‖面AEC
（3）求二面角E-AC-B

在底面是平行四边形的四棱锥P--ABCD中,AB⊥AC,PA⊥面ABCD,且PA＝AB,点E是PD的中点.求证：（1)AC⊥PB（2）PB‖面AEC（3）求二面角E-AC-B
(1)PA⊥面ABCD,AC属于面ABCD,所以PA⊥AC
   又AB⊥AC,因此AC⊥面PAB,PB属于面PAB,因此AC⊥PB
(2)连接BD和AC,其交点为O,连接EO,O为BD中点,E为PD中点,PO在△PBD内,因此EO‖PB,又因为EO属于面AEC,所以PB‖面AEC
（3）过E做EQ⊥AD于Q,因为PA⊥面ABCD,EQ‖PA,所以EQ⊥面ABCD,EQ⊥AC,且Q为AD中点,O为AC中点,因此OQ‖CD‖AB,因为AC⊥AB,因此AC⊥OQ,因此AC⊥面OEQ,得EO⊥AC
     过O做OF‖AB交BC于F,因为AB⊥AC,因此OF⊥AC,所以∠EOF为二面角E-AC-B的平面角
     F为BC的中点,Q为AD中点,EF‖AB,因此QOF三点同线都在△EQF内
     令PA=1,则AB=1,EQ=1/2,QF=1,OQ=1/2因此∠EOQ=45°,∠EOF=135°
     因为二面角E-AC-B的平面角∠EOF为135°,所以二面角E-AC-B为135°

1）AC垂AB,AC垂PA,AB交PA=A,得AC垂PAB，PB属面内，则AC垂PB2）连BD交AC于O,易知1/2PB//=EO,EO属AEC，即PB//AEC.3）PA垂底，EO垂AC（PCD全等DAP推AE=EC）所求为角PBA补角