教育论文：论文：代数与几何的交融[1]

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论文：代数与几何的交融正文：
代数与几何的交融
——《对称与群》走进中学教材
盐阜中学 夏文秀
摘 要：对称是现实生活中普遍存在的现象，在中学教材中也有相关的内容，为了使学生能够更好地理解对称，并且打破学生的思维定势，提到对称就想到几何图形，我们引入了抽象的群从代数的角度去解决几何问题。
关键词：对称 变换 群
观察我们身边的事物，可以发现，对称是现实世界和日常生活中大量存在的现象，因为“对称”是自然界的一种十分重要的性质，因而它得到广泛的研究和应用。对称也是几何图形的一种非常重要的性质，所以它也成为数学中重要的研究对象。对称已经渗透到了中学的学习当中，初中二年级的教材中删除了原有的三角形全等的内容，而将“平移和旋转”添加进去，研究了旋转对称、中心对称图形以及轴对称图形，用几何变换解释图形的全等，初步研究了图形的一些性质，如今对称和群要走进高中的学习之中，看看它对中学的教学有何帮助。
一、 从代数的角度给出变换的定义
在八年级（上）教材的“平移与旋转”这一章中，给出了平移和旋转一种直观的描述:图形的平行移动称为平移;单摆的单相运动称为旋转，并未给出精确的定义，北京出版社即将出版的选修课本《对称与群》从映射的角度给出了这些变换完整的定义，当然这些定义都是适时给出的，因为学生在高一时候已经学过了集合和映射的概念。在书中将一个平面看成是点的集合 ，定义点集 到自身的某些映射 ，分别将具有某些几何性质的映射 称为反射、旋转、平移。这就将同学们惯有的思维方式（看到几何题就在头脑中呈现图形）上升到一种抽象思维的角度。并在以往学习的基础上将知识进行了拓宽，给出了平面刚体运动的概念，充实了同学们在变换方面的知识，为今后进一步学习打下基础。
二、 函数的合成引出变换的合成
在中学以往的教材中并未明确提出变换合成这样的定义，只是在课外的练习中做过这样的尝试。例如：在纸上画 点 ，以及与关于点 成中心对称的 ,过点 任意画一条直线，画出 关于此直线对称的 ,观察 和 ，你发现了什么？在初中教材中，类似于这种练习还存在，其实这其中体现的就是变换的合成问题。对于高中的学生来说想到几何变换的合成问题应该是理所当然的，因为在高二学习函数的同时，就学习过了函数的合成问题，既然函数和几何变换都可以用映射来定义，那么我们应该自然而然想到几何变换的合成问题。从函数的合成引出变换的合成无疑可以培养学生学习的“迁移”能力。在变换合成中有诸如下面的一些结论：反射轴平行的两个反射的乘积是一个平移；反射轴相交的两个反射的乘积是一个旋转等等。这些都是很有用的结论。我们经常运用几何变换来证题，就是通过适当的几何变换把原来的问题转化为另一个易于解决的问题，当欲证命题的题设与结论所涉及的元素比较分散，不易发现它们之间的关系时，可以根据题中所涉及的图形的性质，设法对其（或其部分）施行某种几何变换，把题中已知元素和未知元素的某些数量关系转移到新图形中，以组成新的关系，再设法利用转移后的新关系解决问题，再加上几何变换合成的那些结论可谓是为几何证题添上了一对翅膀。
三、 映射将平面图形的“对称”推广
在中学教材中对图形的对称性的定义比较狭隘，将沿着某条对称轴折叠可以重合的图形称为轴对称图形，定义绕对称中心旋转 可以和自身重合的图形为中心对称图形。在新教材中利用平面刚体运动，将平面图形“对称”的概念推广到更一般的情况，只要一个平面图形 在平

面刚体运动 的作用下，仍与原来的图形重合，就称平面图形 具有对称性。这就比熟悉的轴对称性、中心对称性广泛得多，也是在以往学习的基础上进行的延伸。书中同时将这种平面刚体运动 称为对称变换，这也是一个新的变换概念。在这里新教材中研究了一类特殊的平面图形——正多边形的对称变换，为什么首先要研究正多边形，原因就是正多边形既是旋转对称图形又是轴对称图形，这也是研究问题的一种常用方法——从特殊到一般。以正三角形为例，寻求了其所有对称变换，我们简单看一下正三角形的对称变换：
正三角形有如图所示的三条对称轴和一个对称中心o
通过实验可以发现等边三角形在下列变换的作用下保持不变。
（1） 恒等变换，记作
（2） 沿对称轴 所在直线的反射，记作
（3） 沿对称轴 所在直线的反射，记作
（4） 沿对称轴 所在直线的反射，记作
（5） 绕中心0，度数为 的旋转，记作
（6） 绕中心0，度数为 的旋转，记作
正三角形的所有对称变换都是我们熟悉的旋转和反射变换，只不过在原来分别研究的基础上相对将它们集中，因为它们有一个共性：经过变换后的图形仍与原来的图形重合。
四、 对称群的引入
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