作业帮若a为整数,则a^3- a能被6整除吗?请作出判断,并说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/19 12:07:40
若a为整数,则a^3- a能被6整除吗?请作出判断,并说明理由.
若a为整数,则a^3- a能被6整除吗?
请作出判断,并说明理由.
若a为整数,则a^3- a能被6整除吗?请作出判断,并说明理由.
a^3-a=a(a^2-1)=a(a+1)(a-1)
1.若a=0,则原式可被6整除
设n为正整数
2.若a=3n,则原式=3n(3n+1)(3n-1)
(1)若n为奇数,则3n+1和3n-1为偶数,可以被2整除,3n可以被3整除,原式可被6整除
(2)若n为偶数,则3n可以被6整除,原式可被6整除
3.若a=3n+1,则原式=(3n+1)(3n+2)(3n)
(1)若n为奇数,则3n+1为偶数,可以被2整除,3n可以被3整除,原式可被6整除
(2)若n为偶数,则3n可以被6整除,原式可被6整除
4.若a=3n+2,则原式=(3n+2)(3n+3)(3n+1)
(1)若n为奇数,则3n+1和3n+3为偶数,可以被2整除,3n+3可以被3整除,原式可被6整除
(2)若n为偶数,则3n+3可以被3整除,3n+2可以被2整除,原式可被6整除
综上所述,a^3-a能被6整除
a^3- a=(a-1)*a*(a+1),为连续3个自然数，乘积必定能被6整除。
能
6│a^3-a
证明：法一：对a模6余数进行讨论
a≡0,1,-1,2,-2,3(mod6)时a^3≡0,1,-1,2,-2,3(mod6)所以
a^3≡a(mod6)
法二：利用费马小定理a^p≡a(mod p),p为质数
所以a^3≡a(mod3),所以3│a^3-a
又a^3-a=a(a+1)(a-1)=(a+1)(a^2-a)
a^2...
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6│a^3-a
证明：法一：对a模6余数进行讨论
a≡0,1,-1,2,-2,3(mod6)时a^3≡0,1,-1,2,-2,3(mod6)所以
a^3≡a(mod6)
法二：利用费马小定理a^p≡a(mod p),p为质数
所以a^3≡a(mod3),所以3│a^3-a
又a^3-a=a(a+1)(a-1)=(a+1)(a^2-a)
a^2≡a(mod2),所以2│a^2-a
因为(2,3)=1所以6│a^3-a
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