作业帮已知a>b>0,求a的平方+ab分之一+a(a-b)分之一的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/26 07:45:26
已知a>b>0,求a的平方+ab分之一+a(a-b)分之一的最小值
已知a>b>0,求a的平方+ab分之一+a(a-b)分之一的最小值
已知a>b>0,求a的平方+ab分之一+a(a-b)分之一的最小值
根据定理：当x>0,y>0时,x+y>=2根号xy(当且仅当x=y时,取得最小值2根号xy)
我不太清楚第一项是1/(a^2+ab)还是前两项是a^2+1/ab
原式=a^2+1/b(a-b)
≥a^2+1/{[b+(a-b)]/2}^2
=a^2+4/a^2
≥2√(a^2X4/a^2 )
=4
即最小值是4。
因为 a>b>0，所以
b(a-b)<={[b+(a-b)]/2}^2=a^2/4，
所以 1/[b(a-b)]>=4/a^2，
则 a^2+1/(ab)+1/[a(a-b)]
=1/2*a^2+1/2*a^2+1/(ab)+1/[a(a-b)]
>=4*四次根号[1/2*a^2*1/2*a^2*1/(ab)*1/(a(a-b))]
=4*四次根号{...
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因为 a>b>0，所以
b(a-b)<={[b+(a-b)]/2}^2=a^2/4，
所以 1/[b(a-b)]>=4/a^2，
则 a^2+1/(ab)+1/[a(a-b)]
=1/2*a^2+1/2*a^2+1/(ab)+1/[a(a-b)]
>=4*四次根号[1/2*a^2*1/2*a^2*1/(ab)*1/(a(a-b))]
=4*四次根号{1/4*a^2/[b(a-b)]}
>=4*四次根号{1/4*a^2*4/a^2}
=4，
当且仅当 b=a-b 且 1/2*a^2=1/(ab) 即 a=√2，b=√2/2时，最小值为4.
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