证明不等式:a,b,c属于 R,a^4+b^4+c^4大于等于abc(a+b+c)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 15:04:54
证明不等式:a,b,c属于 R,a^4+b^4+c^4大于等于abc(a+b+c)

证明不等式:a,b,c属于 R,a^4+b^4+c^4大于等于abc(a+b+c)
证明不等式:a,b,c属于 R,a^4+b^4+c^4大于等于abc(a+b+c)

证明不等式:a,b,c属于 R,a^4+b^4+c^4大于等于abc(a+b+c)
证明:
【1】
易知,恒有:
(a²-b²)²+(b²-c²)²+(c²-a²)²≧0.
等号仅当a²=b²=c²时取得.
展开,整理可得:
a^4+b^4+c^4≧a²b²+b²c²+c²a².
【2】
由“基本不等式:x²+y²≧2xy"可得:
a²b²+b²c²≧2b²ac.
b²c²+c²a²≧2c²ab.
c²a²+a²b²≧2a²bc.
以上等号仅当a=b=c时取得.
把上面三个不等式相加,整理可得:
a²+b²+c²≧abc(a+b+c).
【3】
综合上面两个不等式,可得:
a^4+b^4+c^4≥abc(a+b+c).

根据均值不等式,(x^2+y^2>=2xy)
2a^4+2b^4+2c^4=((a^2)^2+(b^2)^2)+((c^2)^2+(b^2)^2)+((a^2)^2+(c^2)^2)
>=2(ab)^2+2(bc)^2+2(ca)^2>=2a^bc+2ab^2c+2abc^2=2abc(a+b+c)
左右同除以2可得结论

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