作业帮过点A（根号2,1）的直线与两坐标轴的正半轴分别交于M,N两点,O为坐标原点,求OM+ON+MN长度的最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/25 16:43:46
过点A（根号2,1）的直线与两坐标轴的正半轴分别交于M,N两点,O为坐标原点,求OM+ON+MN长度的最小值.
过点A（根号2,1）的直线与两坐标轴的正半轴分别交于M,N两点,O为坐标原点,求OM+ON+MN长度的最小值.
过点A（根号2,1）的直线与两坐标轴的正半轴分别交于M,N两点,O为坐标原点,求OM+ON+MN长度的最小值.
不失一般性地设M在x轴上,N在y轴上.过A作AB⊥OM交OM于B,作AC⊥ON交ON于C.
容易证出：ABOC是矩形,由点A的坐标可知：OB＝AC＝√2、OC＝AB＝1.
还容易证出：△ABM∽△NCA,∴NC/AC＝AB/BM,∴NC＝AB×AC/BM＝1×√2/BM＝√2/BM.
设BM＝m,则：NC＝√2/m.
由勾股定理,有：
AM＝√（AB^2＋BM^2）＝√（1＋m^2）； AN＝√（NC^2＋AC^2）＝√（2/m^2＋2）.
∴OM＋ON＋MN＝OB＋BM＋OC＋NC＋AM＋AN,
∴OM＋ON＋MN－OB－OC＝BM＋NC＋AM＋AN,
∴OM＋ON＋MN－√2－1＝m＋√2/m＋√（1＋m^2）＋√（2/m^2＋2）.
令OM＋ON＋MN－√2－1＝y,则：y＝m＋√2/m＋√（1＋m^2）＋√（2/m^2＋2）.
进行三角代换,令m＝tanθ,且θ为锐角,则：
y＝tanθ＋√2cotθ＋√［1＋（tanθ）^2］＋√［2（cotθ）^2＋2］
＝sinθ/cosθ＋√2cosθ/sinθ＋1/cosθ＋√2/sinθ
＝（1＋sinθ）/cosθ＋√2（1＋cosθ）/sinθ
＝［cos（θ/2）＋sin（θ/2）］^2/｛［cos（θ/2）］^2－［sin（θ/2）］^2｝＋√2cot（θ/2）
＝［cos（θ/2）＋sin（θ/2）］/［cos（θ/2）－sin（θ/2）］＋√cot（θ/2）
＝［cot（θ/2）＋1］/［cot（θ/2）－1］＋√2cot（θ/2）.
再令cot（θ/2）＝x,则：y＝（x＋1）/（x－1）＋√2x, 去分母,得：
yx－y＝x＋1＋√2x^2－√2x, ∴√2x^2＋（1－√2－y）x＋y＋1＝0.
显然,x是实数, ∴需要（1－√2－y）^2－4√2（y＋1）≧0,
∴1＋2＋y^2－2√2－2y＋2√2y－4√2y－4√2≧0,
∴y^2－（2＋2√2）y＋3－4√2≧0.
由一元二次方程的求根公式,得：方程y^2－（2＋2√2）y＋3－4√2＝0的判别式为：
（2＋2√2）^2－4（3－4√2）＝4＋8√2＋8－12＋16√2＝24√2.
∴方程y^2－（2＋2√2）y＋3－4√2＝0的根是：
y1＝［2＋2√2－√（24√2）］/2＝1＋√2－√（6√2）； y2＝1＋√2＋√（6√2）.
∴不等式y^2－（2＋2√2）y＋3－4√2≧0的解集是：
（－∞,1＋√2－√（6√2））∪（1＋√2＋√（6√2）,＋∞）.
考虑到y＞0,∴y≧1＋√2＋√（6√2）.
∴y的最小值是1＋√2＋√（6√2）, ∴OM＋ON＋MN－√2－1的最小值是1＋√2＋√（6√2）.
∴OM＋ON＋MN的最小值是：2＋2√2＋√（6√2）.