实数是指什么数具体一些

实数是指什么数具体一些
实数是指什么数
具体一些

实数是指什么数具体一些
词典含义
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shíshù
（一）数学名词.不存在虚数部分的复数,有理数和无理数的总称.
（二）真实的数字.【例】公司到底还有多少钱?请你告诉我实数!
基本概念
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实数包括有理数和无理数.其中无理数就是无限不循环小数和开根开不尽的数,有理数就包括无限循环小数、有限小数、整数.
数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数.本来实数仅称作数,后来引入了虚数概念,原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”.
实数可以分为有理数和无理数两类,或代数数和超越数两类,或正数,负数和零三类.实数集合通常用字母 R 或 R^n 表示.而 R^n 表示 n 维实数空间.实数是不可数的.实数是实分析的核心研究对象.
实数可以用来测量连续的量.理论上,任何实数都可以用无限小数的方式表示,小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的,也可以是非循环的）.在实际运用中,实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位,n 为正整数）.在计算机领域,由于计算机只能存储有限的小数位数,实数经常用浮点数来表示.
①相反数（只有符号不同的两个数,我们就说其中一个是另一个的相反数） 实数a的相反数是-a
②绝对值（在数轴上一个数所对应的点与原点0的距离） 实数a的绝对值是：│a│=①a为正数时,|a|=a
②a为0时, |a|=0
③a为负数时,|a|=-a
③倒数 （两个实数的乘积是1,则这两个数互为倒数） 实数a的倒数是：1/a （a≠0）
历史来源
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埃及人早在大约公元前1000年就开始运用分数了.在公元前500年左右,以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们意识到了无理数存在的必要性.印度人于公元600年左右发明了负数,据说中国也曾发明负数,但稍晚于印度.
直到17世纪,实数才在欧洲被广泛接受.18世纪,微积分学在实数的基础上发展起来.直到1871年,德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义.
相关定义
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从有理数构造实数
实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定义的序列的方式而构造为有理数的补全.实数可以不同方式从有理数构造出来.这里给出其中一种,其他方法请详见实数的构造.
公理的方法
设 R 是所有实数的集合,则：
集合 R 是一个域： 可以作加、减、乘、除运算,且有如交换律,结合律等常见性质.
域 R 是个有序域,即存在全序关系 ≥ ,对所有实数 x, y 和 z：
若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z；
若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0.
集合 R 满足戴德金完备性,即任意 R 的非空子集 S (S∈R,S≠Φ),若 S 在 R 内有上界,那么 S 在 R 内有上确界.
最后一条是区分实数和有理数的关键.例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界,如 1.5；但是不存在有理数上确界（因为 √2 不是有理数）.
实数通过上述性质唯一确定.更准确的说,给定任意两个戴德金完备的有序域 R1 和 R2,存在从 R1 到 R2 的唯一的域同构,即代数学上两者可看作是相同的.
相关性质
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基本运算
实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等,对非负数还可以进行开方运算.实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数.任何实数都可以开奇次方,结果仍是实数,只有非负实数,才能开偶次方其结果还是实数.
完备性
作为度量空间或一致空间,实数集合是个完备空间,它有以下性质：
所有实数的柯西序列都有一个实数极限.
有理数集合就不是完备空间.例如,(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列,但没有有理数极限.实际上,它有个实数极限 √2.实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法.
极限的存在是微积分的基础.实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”.
“完备的有序域”
实数集合通常被描述为“完备的有序域”,这可以几种解释.
首先,有序域可以是完备格.然而,很容易发现没有有序域会是完备格.这是由于有序域没有最大元素（对任意元素 z,z + 1 将更大）.所以,这里的“完备”不是完备格的意思.
另外,有序域满足戴德金完备性,这在上述公理中已经定义.上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思.这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法,即从（有理数）有序域出发,通过标准的方法建立戴德金完备性.
这两个完备性的概念都忽略了域的结构.然而,有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间,而一致空间又有完备空间的概念.上述完备性中所述的只是一个特例.（这里采用一致空间中的完备性概念,而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性,这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质.）当然,R 并不是唯一的一致完备的有序域,但它是唯一的一致完备的阿基米德域.实际上,“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见.可以证明,任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）.这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法,即从（有理数）阿基米德域出发,通过标准的方法建立一致完备性.
“完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的,他还想表达一些不同于上述的意思.他认为,实数构成了最大的阿基米德域,即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域.这样 R 是“完备的”是指,在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域.这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法,即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发,从其子域中找出最大的阿基米德域.